Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Способы решению задач по логике

Табличный способ – этапы, особенности

Сравнение методов решения

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Построение электрических схем, реализующих логические операции

Что такое булева функция

Булева функция f(x1, x2,. xn) — это любая функция от n переменных x1, x2,. xn, в которой её аргументы принимают одно из двух значений: либо 0, либо 1, и сама функция принимает значения 0 или 1. То есть это правило, по которому произвольному набору нулей и единиц ставится в соответствие значение 0 или 1. Подробнее про булевы функции можно посмотреть на Википедии.

Что такое таблица истинности?

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов. Таблица состоит из n+1 столбцов и 2n строк, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах записываются всевозможные значения аргументов (переменных) функции, а в n+1-ом столбце записываются значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Довольно часто встречается вариант таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В такой таблице также первые n столбцов заполнены наборами аргументов, а оставшиеся столбцы заполняются значениями подфункций, входящих в запись функции, что позволяет упростить расчёт конечного значения функции за счёт уже промежуточных вычислений.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ

логических выражений.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Основные логические операции

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Частично за­пол­нен­ные таблицы

ис­тин­но­сти логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Для таб­ли­цы ис­тин­но­сти функ­ции F из­вест­ны зна­че­ния толь­ко не­ко­то­рых ячеек:

Каким вы­ра­же­ни­ем может быть F ?

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

По­сколь­ку F ложно в одном слу­чае из двух, пер­вый и тре­тий ва­ри­ан­ты не под­хо­дят. Вто­рой ва­ри­ант не под­хо­дит, по­сколь­ку пе­ре­мен­ная ¬x5 = 1.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Ло­ги­че­ская функ­ция.

Опре­де­ли­те, ка­ко­му столб­цу таб­ли­цы ис­тин­но­сти функ­ции  F  со­от­вет­ству­ет каж­дая из пе­ре­мен­ных  x ,  y ,  z.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Есть небольшой фрагмент таблицы истинности для выражения F

Каким выражением может быть F?

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Алгебра логики и решение задач

Сравнение операций, первоочередность

Законы алгебры логики

Электросхемы и таблицы истинности

Универсальный подход помогает решать разнотипные задачи, даже не вникая в условие детально. Именно для этого нужны логические задачи и универсальные способы решения. Существует множество подходов, но наиболее распространены 3 основных:

  • Способ рассуждений.
  • Табличный способ.
  • Решение при помощи средств логики.

Первый позволяет находить правильный ответ, обдумывая каждый пункт задачи, делая выводы из каждого условия. Этим методом мы пользуемся постоянно, в обычной жизни, решая простые бытовые примеры. Он простой, но для сложных задач не подходит.

Табличный метод сокращает форму записи примера и позволяет перебрать все возможные значения исходных данных, анализируя результат, полученный при каждой комбинации. Это очень наглядно, компактно и позволяет использовать обычные слова или же логические обозначения.

Поиск правильного решения средствами логики выводит решение примеров на новый уровень, позволяя абстрагироваться от лишней информации, выделяя только переменные, их взаимосвязи. Это позволяет решать задачи из любой сферы, не вникая в те данные, которые не важны для самого решения. Логическая основа задачи – своеобразный «скелет», а вся сопутствующая информация – «одежда».

Что такое таблицы истинности

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2n строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2N. Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 23 = 8.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице  в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

Основные операции

Количество логических операций, которыми обычно оперирует логика 6:

  • Отрицание.
  • Умножение.
  • Сложение
  • Следование.
  • Дизъюнкция.
  • Равнозначность.

Остановимся на каждом из них детальнее, выясним как правильно они называются в алгебре логики, есть ли у них аналоги в обычной речи, в математике, и как их можно использовать в обычной жизни.

Отрицание или инверсия

Операция отрицания или НЕлогическое, корректнее будет название инверсия. Конечное высказывание будет противоположным первоначальному (исходному). Применяется для одного выражения, которое может быть как сложным, так и элементарным.

На примере этой простейшей операции удобно показывать, насколько лаконичны и информативны таблицы истинности. Обозначим исходное высказывание буквой А, соответственно, окончательное будет не А (или НЕ, ‾, ˥ not А). А их ложность или правдивость напишем при помощи цифр 0 и 1.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Получается, если исходное значение правда, то новое будет ложь, и наоборот.

Умножение или конъюнкция &

Логическое И или умножение еще называют конъюнкцией. Финальное высказывание будет правдивым, только если его составляющие тоже правдивы. Во всех остальных случаях оно будет ложным. Применяется для двух и более аргументов, элементарных или сложных. Обозначение А и В; А ^ В; А &В; A and В.

Как видно, при помощи таблицы истинности из 15 ячеек можно описать то, на описание чего при помощи слов пришлось бы потратить минимум 5 полноценных предложений.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Логическое И в обычной жизни:

  • Хорошая певица должна быть талантливой и упорной (наличие только одного качества не позволит проявить миру свой талант).
  • По условиям задачи А – число меньше 30, В – число делиться на 3. Нужно найти решение А ˄ В.

Сложение или дизъюнкция V

Логическое ИЛИ, сложение по-другому называют дизъюнкцией. Оно истинно всегда, кроме случая, если ложны все составные высказывания. Функция распространяется на простые и сложные исходные аргументы. Обозначение А или В; A v В; А ог В.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

В обычной жизни нас окружает логическое ИЛИ:

  • «Чтобы сдать тесты на «отлично», нужно старательно готовиться ИЛИ должно повезти с билетом».
  • Есть задача с 2-мя условиями: А – число делится на 5, В – число делится на 2.

Следование или импликация

Для этого случая важно значение каждого выражения и даже его очередность, потому что первый аргумент считается условием, второй – следствием. Импликация будет ложной лишь в одном случае – если первое составляющее правдиво, а второе нет.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Такое логическое следование имеет аналог в обычной речи «если. то», то есть одно событие зависит от другого. Символьно связи выражают следующим образом:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Логическое следование в обычной жизни:

  • Если пойти к врачу, можно выздороветь (но можно выздороветь и без похода к врачу, а можно и после визита в больницу не выздороветь).
  • По условию задачи, А – если число делится на 10, то В делится на 5.

Строгая дизъюнкция

Такая логическая операция выдаст истину, если любое из составляющих высказываний будет истинным, независимо очередности.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Это пример исключающей функции. Аналог в словесном выражении – «либо». Разница от простой дизъюнкции в том, что конечное выражение будет истинным, только если будет правдой одна переменная.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Эквиваленция или равнозначность

Операция, выдающая истину в случае, если обе исходные переменные истины или неправдивы. Обозначают А ~В, А ↔ В.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Словесная аналогия – «тогда и только тогда, когда», математическая – «необходимо и достаточно». Если сравнить таблицы истинности для предыдущих операций, очевидно, что она противоположна «исключающему ИЛИ», то ее можно посчитать так:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Пример эквивалентности из обычной жизни:

  • Если вечером на горизонте солнце темно-красного цвета, значит, завтра будет ветреный день.
  • В задаче 2 условия: А – сумма цифр числа равно 9, В – число делится на 9. АВ означает, что число делится на 9, если сумма цифр равна 9.

§ 19. Таблицы истинностиПостроение таблиц истинностиТаблицу значений, которые принимает логическое выражение при всех сочетаниях значений (наборах) входящих в него переменных, называют таблицей истинности логического выражения. Для того чтобы построить таблицу истинности логического выражения, достаточно:1) определить число строк таблицы m = 2n, где n — число переменных в логическом выражении;2) определить число столбцов таблицы как сумму чисел логических переменных и логических операций в логическом выражении;3) установить последовательность выполнения логических операций с учётом скобок и приоритетов операций;4) заполнить строку с заголовками столбцов таблицы истинности, занеся в неё имена логических переменных и номера выполняемых логических операций;5) выписать наборы входных переменных с учётом того, что они представляют собой ряд целых n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2n — 1;6) провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции. Пример 1. Построим таблицу истинности для логического выражения

В этом выражении две логические переменные и пять логических операций. Всего в таблице истинности будет пять строк (22 плюс строка заголовков) и 7 столбцов. Начнём заполнять таблицу истинности с учётом следующего порядка выполнения логических операций: сначала выполняются операции отрицания (в порядке следования), затем операции конъюнкции (в порядке следования), последней выполняется дизъюнкция.

Обратите внимание на последний столбец, содержащий конечный результат. Какой из рассмотренных логических операций он соответствует?Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными или эквивалентными, если для всех наборов входящих в них переменных значения выражений в таблицах истинности совпадают. Таблица истинности, построенная в предыдущем примере, доказывает равносильность выражений

С помощью таблиц истинности докажите равносильность выражений

Функцию от n переменных, аргументы которой и сама функция принимают только два значения — 0 и 1, называют логической функцией. Таблица истинности может рассматриваться как способ задания логической функции. Анализ таблиц истинностиРассмотрим несколько примеров. Пример 2. Известен фрагмент таблицы истинности для логического выражения F, содержащего логические переменные А, В и С.

Сколько из приведённых ниже логических выражений соответствуют этому фрагменту?1) (A v С) & B;2) (A v B) & (С ? А);3) (А & B v С) & (B ? А & С);4) (А ? B) v (С v А ? B). Ответить на поставленный вопрос можно, вычислив значение каждого логического выражения на каждом заданном наборе переменных и сравнив его с имеющимся значением F. 1) Логическое выражение (A v С) & В соответствует данному фрагменту таблицы истинности:

2) Логическое выражение (A v В) & (С ? А) не соответствует данному фрагменту таблицы истинности, т. уже на первом наборе значение рассматриваемого логического выражения не совпадает со значением F. Проведение дальнейших вычислений не имеет смысла.

3) Логическое выражение (А & В v С) & (В ? А & С) не соответствует данному фрагменту таблицы истинности:

4) Логическое выражение (А ? В) v (С v А ? В) соответствует данному фрагменту таблицы истинности:

Итак, имеется два логических выражения, соответствующих заданному фрагменту таблицы истинности. Можно ли утверждать, что в результате решения задачи мы нашли логическое выражение F?Пример 3. Логическая функция F задаётся выражением:

Ниже приведён фрагмент таблицы истинности, содержащий все наборы переменных, на которых F истинна.

Определим, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных х, y > z. В исходном логическом выражении задействовано три логические переменные. Полная таблица истинности для этого выражения должна состоять из 8 (23) строк. Наборам переменных, на которых логическое выражение истинно, соответствуют десятичные числа 0, 2, 3, 4 и 7. Следовательно, наборам переменных, на которых логическое выражение ложно, должны соответствовать десятичные числа 1, 5 и 6 (их двоичные коды 001, 101 и 110). Построим по этим данным вторую часть таблицы истинности:

Теперь выясним, при каких значениях х, у, z логическое выражение ложно:

Логическое произведение ложно, если хотя бы один из операндов равен нулю. Таким образом, мы имеем две дизъюнкции, каждая из которых должна быть ложной. Это возможно только в случае равенства нулю каждого из операндов, входящих в дизъюнкцию. Подберём подходящие значения х, у и z, заполняя следующую таблицу:

Первая дизъюнкция равна нулю на наборе 011. Для равенства нулю второй дизъюнкции требуется, чтобы х = 1, у = 0, а z может быть и 0, и 1.

Сравним эту таблицу с восстановленным нами фрагментом исходной таблицы истинности, предварительно подсчитав, сколько раз каждая переменная принимает единичное значение.

Переменная у принимает единичное значение только один раз. Следовательно, ей соответствует второй столбец исходной таблицы. Из таблицы со значениями х, у и z следует, что при у = 1: х = 0, а z = 1. Следовательно, переменной z соответствует первый столбец, а переменной х — третий столбец исходной таблицы. Убедиться в правильности полученного ответа можно, полностью заполнив следующую таблицу:

САМОЕ ГЛАВНОЕТаблицу значений, которые принимает логическое выражение при всех сочетаниях значений (наборах) входящих в него переменных, называют таблицей истинности логического выражения. Истинность логического выражения можно доказать путём построения его таблицы истинности. Функцию от п переменных, аргументы которой и сама функция принимают только два значения — 0 и 1, называют логической функцией. Таблица истинности может рассматриваться как способ задания логической функции. Вопросы и задания1. Что представляет собой таблица истинности?3. Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:

Рассмотрите два составных высказывания:• F1 = «Если одно слагаемое делится на 3 и сумма делится на 3, то и другое слагаемое делится на 3»;• F2 = «Если одно слагаемое делится на 3, а другое слагаемое не делится на 3, то сумма не делится на 3». Формализуйте эти высказывания, постройте таблицы истинности для каждого из полученных выражений и убедитесь, что результирующие столбцы совпадают. Логическое выражение, являющееся истинным при любом наборе входящих в него переменных, называется тождественно истинным. Убедитесь, что следующие логические выражения являются тождественно истинными:

Какое из приведённых логических выражений равносильно выражению (А ? С) & (B ? С)?1) А & В ? С;2) А ? В ? С;3) A v Б ? С;4) А ? Б ? С. Известен фрагмент таблицы истинности для логического выражения F, содержащего логические переменные А, В и С.

Какое из приведённых далее логических выражений соответствуют этому фрагменту?

Ниже приведён фрагмент таблицы истинности, содержащий все наборы переменных, на которых F ложна.

Урок по информатике в 11 классе.

Тема: Логические выражения и таблицы истинности

Цели: построение таблиц истинности логических выражений.

  • Научить составлять логические выражения из высказываний;
  • Ввести понятие “таблица истинности логического выражения”;
  • Изучить последовательность действий построения таблиц истинности;
  • Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности;
  • Ввести понятие равносильности логических выражений;
  • Научить доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности;
  • Закрепить навыки нахождения значений логических выражений посредством построения таблиц истинности.

Ожидаемые результаты обучения:

Учащиеся должны знать:

  • этапы составления таблиц истинности логических выражений;
  • понятие равносильные логические выражения.

Учащиеся должны уметь:

  • строить и заполнять таблицу истинности логического выражения;
  • находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности;
  • доказывать равносильность логических выражений, используя таблицы истинности.

Организационный момент.

Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Составление логических выражений. Таблицы истинности». Изучив данную тему, вы научитесь, как из высказываний составляются логические формы, и определять их истинность посредством составления таблиц истинности.

Проверка домашнего задания.

III. Изложение нового материала.

Построение таблиц истинности.

Мы уже несколько уроков используем понятие “таблица истинности”, определим же его.

Опр. 1 Таблица истинности — это таблица, устанавливающая соответствие между возможными наборами значений логических переменных и значениями функций.

При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий:

  • Необходимо определить количество строк в таблице истинности: количество строк равно 2n, где n — количество логических переменных.
  • Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.
  • Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;
  • Заполнить столбцы входных переменных наборами значений;
  • Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Пример. Построить таблицу истинности для составного высказывания:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 2 переменные: А и В.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 22=4.

Определяем количество столбцов. Это количество логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи.

Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов, обозначаем столбцы и вносим в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных и заполняем таблицу истинности по столбцам.

Можно сначала выполнить логическое отрицание или найти значение сначала в первой скобке, затем инверсию и значение во второй скобке, затем значение между этими скобками.

A B 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Равносильные логические выражения.

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак “ = “.

Пример. Докажем, что логические выражения и равносильны.

Построим сначала таблицу истинности логического выражения:

В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — трем, то есть количество столбцов таблицы истинности равно пяти.

Сначала необходимо выполнить логическое отрицание А, а затем логическое отрицание В. Последним действием выполним логическое сложение.

A B 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0

Теперь построим таблицу истинности логического выражения:

Определяем количество столбцов. В нашем случае количество переменных равно двум, а количество логических операции — двум, то есть количество столбцов таблицы истинности равно четырем.

Сначала необходимо выполнить действие в скобках, а затем логическое отрицание.

A B 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

Построили таблицы. Теперь давайте, сравним значения в последних столбцах таблиц истинности, т. именно последние столбцы являются результирующими:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Закрепление изученного материала.

Построить таблицу истинности для формулы:.

Определим количество строк в таблице. Для этого: считаем количество переменных, в нашем случае логическая функция содержит 3переменные: А, В и С.

Количество строк в таблице истинности должно быть равно 23=8.

Определяем количество столбцов. В нашем случае количество переменных равно трем, а количество логических операции — пяти, то есть количество столбцов таблицы истинности равно восьми.

Последовательность операций: инверсия, операции в скобках, операция за скобкой.

A B C 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1

Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих логических выражений: и.

Построим сначала таблицу истинности логического выражения:.

Определим количество строк в таблице: 22=4.

Определяем количество столбцов: 2+1=3.

Строим таблицу с указанным количеством строк и столбцов.

A B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Построим таблицу истинности логического выражения:.

Определяем количество столбцов: 2+2=4.

A B 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1

Вывод: данные логические выражения не равносильны.

Итог урока.

Обобщить пройденный материал, оценить работу активных учеников.

Домашнее задание.

  • Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения и равносильны.
  • Построить таблицу истинности для формулы:

Как пользоваться калькулятором

  • Введите в поле логическую функцию (например, x1 ∨ x2) или её вектор (например, 10110101)
  • Укажите действия, которые необходимо выполнить с помощью переключателей
  • Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
  • Нажмите на кнопку «Построить»

Правила составления таблицы истинности

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

  • Вычислить число переменных в выражении (n).
  • Вычислить общее количество логических операций в выражении.
  • Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
  • Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
  • Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2n
  • Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2n−1.
  • Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Построение таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина.

Онлайн калькулятор позволяет быстро строить таблицу истинности для произвольной булевой функции или её вектора, рассчитывать совершенную дизъюнктивную и совершенную конъюнктивную нормальные формы, находить представление функции в виде полинома Жегалкина, строить карту Карно и классифицировать функцию по классам Поста.

Калькулятор таблицы истинности, СКНФ, СДНФ, полинома Жегалкина

введите функцию или её вектор

Минимизация, карта Карно

Построено таблиц, форм:

Электросхемы и таблицы истинности

При помощи «0» и «1» можно обозначить, светится ли лампочка, идет ли ток при параллельном или последовательном соединении проводов. Это настолько удобно, что у разных логических функций есть стандартные обозначения при построении электрических схем:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Переменными являются переключатели, а результат (горит лампа/идет ток) будет «1» – истина или «0» – ложь.

Для конъюнкции и инверсии подходит последовательное соединение, но во втором случае переключатель один, для дизъюнкции – параллельное.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Это примеры простейших электросхем. Понимание простейших логических взаимосвязей, умение быстро строить и анализировать электроцепи позволяет строить, паять более сложные, многоуровневые схемы. Для автоматизации применяют различные программы, самый простой вариант – таблицы Excel.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Видеоинструкция к калькулятору

В качестве переменных используются буквы латинского и русского алфавитов (большие и маленькие), а также цифры, написанные после буквы (индекс переменной). Таким образом, именами переменных будут: a, x, a1, B, X, X1, Y1, A123 и так далее.

Для смены порядка выполнения операций используются круглые скобки ().

Обозначения логических операций

  • ИЛИ (OR): ∨ +
  • НЕ (NOT): ¬ !
  • Исключающее ИЛИ (XOR): ⊕ ^
  • Стрелка Пирса: ↓

Что умеет калькулятор

  • Строить таблицу истинности по функции
  • Строить таблицу истинности по двоичному вектору
  • Строить совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ)
  • Строить совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ)
  • Строить полином Жегалкина (методами Паскаля, треугольника, неопределённых коэффициентов)
  • Определять принадлежность функции к каждому из пяти классов Поста
  • Строить карту Карно
  • Минимизировать ДНФ и КНФ
  • Искать фиктивные переменные

Как задать логическую функцию

Есть множество способов задать булеву функцию:

  • таблица истинности
  • характеристические множества
  • вектор значений
  • матрица Грея
  • формулы

Рассмотрим некоторые из них:

Чтобы задать функцию через вектор значений необходимо записать вектор из 2n нулей и единиц, где n — число аргументов, от которых зависит функция. Например, функцию двух аргументов можно задать так: 0001 (операция И), 0111 (операция ИЛИ).

Чтобы задать функцию в виде формулы, необходимо записать математическое выражение, состоящее из аргументов функции и логических операций. Например, можно задать такую функцию: a∧b ∨ b∧c ∨ a∧c

Логические выражения

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

В логические выражения могут входить функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. Для таких случаев существует алгоритм выполнения действий. За исключением тех случаев, когда в логическом выражении присутствуют скобки, влияющие на порядок выполнения операций.

  • вычисляется существующие функциональные зависимости;
  • вычисляются алгебраические операции в обычном порядке;
  • вычисляются операции сравнения в любом порядке;
  • вычисляются логические операции начиная с операции отрицания. Следом вычисляется операция логического умножения, логического сложения, в последнюю очередь выполняются операции импликации и эквивалентности.

Логические операции

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Примеры построения различных представлений логических функций

Построим совершенные дизъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы, а также полином Жегалкина для функции трёх переменных F = ¬ab∨¬bc∨ca

Построим таблицу истинности для функции

Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы

В соответствие найденным наборам поставим элементарные конъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 0, то она будет записана с отрицанием:

Объединим конъюнкции с помощью дизъюнкции и получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму:

K1 ∨ K2 ∨ K3 ∨ K4 ∨ K5 = ¬a¬bc ∨ ¬ab¬c ∨ ¬abc ∨ a¬bc ∨ abc

Построение совершенной конъюнктивной нормальной формы

В соответствие найденным наборам поставим элементарные дизъюнкции по всем переменным, причём если переменная в наборе принимает значение 1, то она будет записана с отрицанием:

Объединим дизъюнкции с помощью конъюнкции и получим совершенную конъюнктивную нормальную форму:

D1 ∧ D2 ∧ D3 = (a∨b∨c) ∧ (¬a∨b∨c) ∧ (¬a∨¬b∨c)

Построение полинома Жегалкина

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1, 3, 5 и 7 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 2, 4, 6 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 3, 5 и 7 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 и 2, 5 и 6 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 3 и 4, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1 и 2, 5 и 6 строк:

Добавим новый столбец к таблице истинности и запишем в 1 2, 3 и 4 строки значения из тех же строк предыдущего столбца таблицы истинности, а значения в строках 5, 6, 7 и 8 сложим по модулю два со значениями из соответственно 1, 2, 3 и 4 строк:

Окончательно получим такую таблицу:

Выпишем наборы, на которых получившийся вектор принимает единичное значение и запишем вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора следует записать единицу):

Объединяя полученные конъюнкции с помощью операции исключающего или, получим полином Жегалкина: c⊕b⊕bc⊕ab⊕abc

Диаграммы Эйлера-Венна

Тем, кто лучше воспринимает информацию в виде изображений, понравятся диаграммы Эйлера-Венна, которые показывают, как пересекаются множества между собой.

Число пересечений (областей) можно посчитать сразу, оно равно n = 2N, где N – число множеств. Так как значение двойки в степени растет очень быстро (4,8,16), обычно диаграммы используют для 2-3 множеств. Далее области пересечения будут сливаться, образуя неразличимые участки. Если множеств 2-3, то рисуют круги, если больше 4 – эллипсы. Этот «цветок» помещают в прямоугольную конструкцию, которую называют универсум U (универсальное множество).

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Диаграммы позволяют наглядно увидеть результат большинства логических функций:

Конъюнкция множеств А и В:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Сложное выражение (Ā)∨(A∧B), составленное из элементарных Ā, A∧B и их комбинации, графическое выражение:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Примеры использования диаграмм Эйлера-Венна

Есть 2 множества цифр и универсум:

Пустой области ничего не принадлежит, опишем в табличном виде, какие цифры какой области принадлежит:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Способы представления булевой функции

С помощью формул можно получать огромное количество разнообразных функций, причём с помощью разных формул можно получить одну и ту же функцию. Иногда бывает весьма полезно узнать, как построить ту или иную функцию, используя лишь небольшой набор заданных операций или используя как можно меньше произвольных операций. Рассмотрим основные способы задания булевых функций:

  • Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
  • Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
  • Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простая конъюнкция — это конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это дизъюнкция простых конъюнкций. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — ДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую конъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, ДНФ является функция ¬abc ∨ ¬a¬bc ∨ ac, но не является СДНФ, так как в последней конъюнкции отсутствует переменная b.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Простая дизъюнкция — это дизъюнкция одной или нескольких переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) — это конъюнкция простых дизъюнкций. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) — КНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных, в каждую дизъюнкцию которой входят все переменные данного набора.

Например, КНФ является функция (a ∨ b) ∧ (a ∨ b ∨ c), но не является СДНФ, так как в первой дизъюнкции отсутствует переменная с.

Алгебраическая нормальная форма (АНФ, полином Жегалкина)

Алгебраическая нормальная форма, полином Жегалкина — это форма представления логической функции в виде полинома с коэффициентами вида 0 и 1, в котором в качестве произведения используется операция конъюнкции, а в качестве сложения — исключающее ИЛИ.

Примеры полиномов Жегалкина: 1, a, a⊕b, ab⊕a⊕b⊕1

Алгоритм построения СДНФ для булевой функции

  • Построить таблицу истинности для функции
  • Выписать простые конъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 0, то она входит в конъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
  • Объединить все простые конъюнкции с помощью дизъюнкции

Алгоритм построения СКНФ для булевой функции

  • Построить таблицу истинности для функции
  • Выписать простые дизъюнкции для каждого из наборов по следующему правилу: если в наборе переменная принимает значение 1, то она входит в дизъюнкцию с отрицанием, а иначе без отрицания
  • Объединить все простые дизъюнкции с помощью конъюнкции

Алгоритм построения полинома Жегалкина булевой функции

Есть несколько методов построения полинома Жегалкина, в данной статье рассмотрим наиболее удобный и простой из всех.

  • Построить таблицу истинности для функции
  • Повторить действия каждый раз увеличивая в два раза количество переносимых и складываемых элементов до тех пор, пока длина не станет равна числу строк таблицы.
  • Выписать булевы наборы, на которых значение последнего столбца равно единице
  • Записать вместо единиц в наборах имена переменных, соответствующие набору (для нулевого набора записать единицу) и объединить их с помощью операции исключающего ИЛИ.

Законы алгебры логики

Операции логики подчиняются законам, которые во многом напоминают математические законы. Другими словами, операции обладают определенными свойствами, которые упрощают решение и позволяют преобразовывать одни операции в другие.

Таблица законов алгебры логики

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Сравнение операций, первоочередность

Приведены результаты основных логических функций для 2-х переменных:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Если выражение громоздкое, состоящее из нескольких основных, анализ выполняют по приоритетности функций, по очереди написания, от начала:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Но скобки делают операцию внутри них самой приоритетной.

Таблица истинности логических операций

Если рассмотреть электросхемы с точки зрения логики, особенно компьютерные, то их также можно описать при помощи «1» и «0» – электричество идет или не идет по проводам.

Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.

Электросхема с конъюнктором

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Рассмотрим все варианты:

  • Все контакты включены, тогда источник света горит.
  • Первый контакт в положении «выключено» – свет не горит.
  • Второй контакт выключен – лампа не светит.
  • Все контакты отключены – свет не горит.

Заключение – эта электрическая цепь реализует операцию «И».

Дизъюнктор, схема электропитания

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Рассмотрим этот вид электрической цепочки:

  • Все контакты включены – лампа горит.
  • Первый контакт включен, второй выключен – свет горит.
  • Обратная ситуация – выключен первый, включен второй – лампа светится.
  • Все контакты выключены – света нет.

Заключение – такой вид электросхем соответствует логической операции «ИЛИ».

Инвертор в электросхемах

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.

Заключение: схема соответствует логической операции «НЕ».

Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.

Обозначение логических элементов

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Табличный способ – этапы, особенности

Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.

Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.

Метод таблиц

Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.

Существует общий алгоритм построения таблиц:

  • Определить число логических значений/переменных (n) в примере.
  • Установить вид, число и тип операций. Важно заранее определить очередность действий, выразить это при помощи скобок.
  • Полученные данные позволяют рассчитать сколько нужно столбцов – это сумма числа переменных и операций.
  • Нарисовать таблицу, заполнить шапку, записав обозначение переменных и выбранные действия.
  • Определить, сколько существует наборов логических переменных (т.е. число строчек) по формуле m = 2n+ 1 (шапка).
  • Заполнить столбцы, вписав наборы значений логических переменных (0 или 1).
  • Записать результаты логических операций, указанных в шапке для каждой совокупности значений.
  • Сделать выводы на основании полученных результатов.

Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.

Обязательно учитывают приоритет операций:

  • Указанные в скобках.
  • Отрицание.
  • Логическая конъюнкция чисел.
  • Дизъюнкция.
  • Строгая дизъюнкция.
  • Импликация.
  • Эквивалентность.

Обозначение логических операций

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Примеры построения таблицы истинности

Построим таблицу истинности и решим выражение( F = (A ee B) wedge (¬A ee ¬B)). Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

  • Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
  • Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции , , , , = 2 +5 = 7.
  • Количество строк — 5, исходя из m =2n, таким образом 22 = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.

АВ(А ee В)¬А¬В(¬А ee ¬В)((A ee B) wedge (¬A ee ¬B))
0001110
0111011
1010111
1110000

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение (F = X ee Y wedge ¬Z)

  • Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции, , ¬ = 3 + 3 = 6.
  • Количество строк — 9, исходя из m =2n, таким образом 23 = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
  • Заполним таблицу.

XYZ¬Z(Y wedge ¬Z)(X ee Y wedge ¬Z)
000q00
001000
010111
100101
101001
110111
111001

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.

Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.

Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:

А — «Первый студент летал в Англию»;

В — «Второй студент летал в Англию»;

С — «Третий студент летал в Англию».

Запишем выясненные данные при помощи логических операций:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Есть три 8-ых класса (А, В, С), которые соревнуются между собой за средний бал. Учителя в начале года сделали такие предположения:

  • Если А получит максимальный бал, то максимальный бал получат Ви С.
  • А и С получат или не получат максимальный бал одновременно.
  • Необходимым условием получения высшего бала С класса является получение высшего бала В классом.

По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.

Выясним, какие же классы добились высшего бала.

Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:

А – «А добьется высшего бала»;

В – «В добьется высшего бала»;

С – «С добьется высшего бала».

Запишем логические операции, описанные в примере:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.

Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:

  • последняя – гласная (Х1);
  • или первая буква согласная (Х2)
  • вторая – согласная (Х3).

Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.

Решим задачу, используя таблицу.

Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Указанному условию соответствует первое имя.

Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.

Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.

Маша Марина: «Саша заняла второе место, а Света – первое».

Полина Света: «Нет, это не так, Саша – победительница, а Галя, – на втором месте».

Ольга Саша: «Зачем вы всех путаете? Третье место за Мариной, а Света – на четвертом месте».

Составляем таблица для перебора вариантов. Правду обозначаем «1», ложь – «0».

Берем любое (Марины) утверждение и принимаем его первую часть за правду. Значит, Саша – 2 место, тогда Света не 1-ое (вторая половина фразы – ложь), остальных девочек на 2 место ставим «0».

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале). Уже на второй фразе получается противоречие всему.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.

Сравнение методов решения

Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.

Пример №1.

Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.

  • дом плотника правее егеря;
  • стоматолог проживает левее егеря;
  • дом гитариста с самого краю;
  • стоматолог живет рядом с гитаристом;
  • Владимир не гитарист, и его дом не соседствует с гитаристом;
  • дома Дмитрия и егеря соседние;
  • здание, в котором прописан Андрей, правее стоматолога;
  • между домами Андрея и Дмитрия один дом.

Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.

Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.

Табличный метод

Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).

Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:

  • Разбить задачу на простейшие утверждения, которые обозначить символами (большие буквы латинского алфавита).
  • Записать условие задачи, как составное выражение из символов логических операций.
  • Нарисовать таблицу истинности для полученных данных.
  • Выбрать такой вариант, при котором полученные значения подходят под условие.
  • Проверить соответствие выбранного варианта и условия задачи.

Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Рассмотрим тот же пример.

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Построение и анализ таблиц истинности логических выражений

Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Способы решения задач по логике

Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:

  • рассуждая над условием;
  • решая логические операции;
  • используя таблицы истинности.

Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.

Этапы решения логических задач:

  • Разобраться с условием на естественном языке, выделив простые высказывания, и дать им символьные обозначения (латиница).
  • Просчитать формулы строчно или при помощи таблиц истинности, учитывая законы алгебры логики.
  • Проверить, соответствует ли полученный результат условию задачи.

Алгебра логики и решение задач

Несмотря на то, что логика, как наука о размышлении, существовала еще 5 в. До н. , теперь это важная часть многих наук, а не только философии и риторики. Также логика существует, как отдельная наука уже более 200 лет.

Инструменты алгебры логики позволяют переводить словесные высказывания в сухие, объективные выражения, а с их помощью выполнять различные логические операции. Появился этот раздел математики 200 лет назад.

Стоит остановиться на базовых понятиях алгебры логики:

  • константы (0,1);
  • переменные;
  • формула;
  • знаки операций;
  • скобки.

Логическая переменная – обозначение логического выражения, которое может быть true (t, правда, истина, да, 1) – false (f, ложь, нет, 0).

Формула– символьный способ выражения операции между переменными при помощи специальных знаков и скобок ().

Логическое высказывание – утверждение, в котором говорится только правда или только ложь.

Образец таких предложений: «Луна – вертится вокруг Марса» – ложно, а «После зимы всегда приходит весна» – истинно.

Частицы «не», «или», если», «и» и другие, которые являются связующими элементами в обычной речи, позволяют создавать элементарные логические выражения.

Элементарные высказывания – те, к которым нельзя применить понятие истинности или ложности. Их обозначают различными символами (латинские буквы, цифры), знаками. Ими занимаются те сферы, к которым они относятся. Они входят в состав высказываний логики.

Из одних высказываний можно образовывать другие, в результате получая составные высказывания. И от того, являются исходные элементы составного конечного высказывания правдивыми или неправдивыми, а также какие логические связки использовались, будет правдой или ложью все высказывание в целом.

Чтобы образовать такое составное предложение в обычной жизни, используют связки И, ИЛИ, НЕ. А научный подход заменил их на конъюнкцию, дизъюнкцию, инверсию и более сложные операции. Все эти процессы выражают словесно, таблично (таблицы истинности) или графически (диаграммы Эйлера-Венна).

Простые выражения содержат лишь одно выражение (правдивое или нет), и не содержит никаких логических операций.

Сложные могут содержать от 2 и больше аргументов (простых выражений), которые между собой связаны логическими операциями.

Еще используют понятие «предикат» – содержит любое количество переменных без перечисления всех составляющих данных. Это предикат простых, отрицательных P(x)=(x<0) чисел.

Чтобы исключить лишнюю информацию, оставив только логические связи, используют таблицы истинности, наглядно демонстрирующие, правдиво или неправдиво конечное предложение, если учесть все значения входящих в его состав простейших частей.

Такая форма оформления и решения задач используется в построении электросхем, для решения различных логических задач, в булевой алгебре, программировании.