Готовые домашние задания 1-11 класса

Чтобы правильно построить линейный график функций в Excel необходимо выбрать точечную диаграмму с прямыми отрезками и маркерами. Естественно это не единственный, но весьма быстрый и удобный способ.

Для разного рода данных нужно использовать разные типы графиков. Убедимся в этом, разобрав практический пример с построением математического графика функций в Excel.

Информация воспринимается легче, если представлена наглядно. Один из способов презентации отчетов, планов, показателей и другого вида делового материала – графики и диаграммы. В аналитике это незаменимые инструменты.

Построить график в Excel по данным таблицы можно несколькими способами. Каждый из них обладает своими преимуществами и недостатками для конкретной ситуации. Рассмотрим все по порядку.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Функция «y = kx» — это первый тип функции, который изучается в математике.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Буквенный множитель «k» в функции «y = kx» называют
числовым коэффициентом.

На месте «k» может стоять любое число (положительное, отрицательное или дробь).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» стоит число.

Примеры функций вида «y = kx».

  • y = 4x
  • y = −1,5x
  • y = x

Давайте определим для каждой из функций выше, чему в них равен числовый коэффициент
«k».

Функция

Коэффициент «k»

y = 4x

k = 4

y = −1,5x

k = −1,5

y = 12x

k = 12

Функцию вида «y = kx + b» называют линейной функцией.

Буквенные множители «k» и «b»
называют
числовыми коэффициентами.

Вместо «k» и «b»
могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что «y = kx + b» — это семейство всевозможных функций, где вместо
«k» и «b» стоят числа.

Примеры функций типа «y = kx + b».

  • y = 5x + 3
  • y = 0,5x

Давайте определим для каждой функций выше, чему равны числовые коэффициенты
«k» и
«b».

Функция

Коэффициент «k»

Коэффициент «b»

y = 5x + 3

k = 5

b = 3

y = −x + 1

k = −1

b = 1

y = 23x − 2

k = 23

b = −2

y = 0,5x

k = 0,5

b = 0

Обратите особое внимание на функцию «y = 0,5x»
в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента «b».

Рассматривая
функцию «y = 0,5x», неверно утверждать, что числового коэффициента
«b» в функции нет.

Числовый коэффициент «b» присутствет в функции типа «y = kx + b» всегда. В функции «y = 0,5x»
числовый коэффициент «b» равен нулю.

Содержание статьи (кликните для открытия/закрытия)

Построение графика зависимости функции является характерной математической задачей. Все, кто хотя бы на уровне школы знаком с математикой, выполняли построение таких зависимостей на бумаге. В графике отображается изменение функции в зависимости от значения аргумента. Современные электронные приложения позволяют осуществить эту процедуру за несколько кликов мышью. Microsoft Excel поможет вам в построении точного графика для любой математической функции. Давайте разберем по шагам, как построить график функции в excel по её формуле

Подготовка расчетной таблицы

В таблицу заносим имена постоянных  k и b в нашей функции. Это необходимо для быстрого изменения графика без переделки расчетных формул.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Установка шага значений аргумента функции

Далее строим таблицу значений линейной функции:

  • В ячейки A5 и A6 вводим соответственно обозначения аргумента и саму функцию. Запись в виде формулы будет использована в качестве названия диаграммы.
  • Вводим в ячейки B5 и С5 два значения аргумента функции с заданным шагом (в нашем примере шаг равен единице).
  • Выделяем эти ячейки.
  • Наводим указатель мыши на нижний правый угол выделения. При появлении крестика (смотри рисунок выше), зажимаем левую кнопку мыши и протягиваем вправо до столбца J.

Ячейки автоматически будут заполнены числами, значения которых различаются заданным шагом.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Автозаполнение значений аргумента функции

Далее в строку значений функции в ячейку B6 записываем формулу =$B3*B5+$D3

Внимание! Запись формулы начинается со знака равно(=). Адреса ячеек записываются на английской раскладке. Обратите внимание на абсолютные адреса со знаком доллара.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Запись расчётной формулы для значений функции

Чтобы завершить ввод формулы нажмите клавишу Enter или галочку слева от строки формул вверху над таблицей.

Копируем эту формулу для всех значений аргумента. Протягиваем вправо рамку от ячейки с формулой до столбца с конечными значениями аргумента функции.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение графика функции

Выделяем прямоугольный диапазон ячеек A5:J6.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Выделение таблицы функции

Переходим на вкладку Вставка в ленте инструментов. В разделе Диаграмма выбираем Точечная с гладкими кривыми (см. рисунок ниже). Получим диаграмму.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение диаграммы типа «График»

После построения координатная сетка имеет разные по длине единичные отрезки. Изменим ее перетягивая боковые маркеры до получения квадратных клеток.

Готовые домашние задания 1-11 класса

График линейной функции

Теперь можно ввести новые значения постоянных k и b для изменения графика. И видим, что при попытке изменить коэффициент график остается неизменным, а меняются значения на оси. Исправляем. Кликните на диаграмме, чтобы ее активировать. Далее на ленте инструментов во вкладке Работа с диаграммами на вкладке Конструктор выбираем Добавить элемент диаграммы — Оси — Дополнительные параметры оси.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Вход в режим изменения параметров координатных осей

В правой части окна появиться боковая панель настроек Формат оси.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Редактирование параметров координатной оси

  • Кликните на раскрывающийся список Параметры оси.
  • Выберите Вертикальная ось (значений).
  • Кликните зеленый значок диаграммы.
  • Повторите тоже для горизонтальной оси.

Теперь, если поменять значения K и b , то получим новый график с фиксированной сеткой координат.

Понятие функцииФункция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества. Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Например, для функции вида

область определения выглядит так

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy. Понятие графика функцииГрафиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика. График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу. Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x. Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x. В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате. Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач. Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика. Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания. Исследование функцииВажные точки графика функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;
  • точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю. Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек. Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю. Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам. Схема построения графика функции:

  • Найти область определения функции.
  • Найти область допустимых значений функции.
  • Проверить не является ли функция четной или нечетной.
  • Проверить не является ли функция периодической.
  • Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).
  • Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.
  • На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функцииЧтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером. Задача 1. Построим график функцииУпростим формулу функции:при х ≠ -1. График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Готовые домашние задания 1-11 класса

Задача 2. Построим график функцииВыделим в формуле функции целую часть:

Готовые домашние задания 1-11 класса

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Готовые домашние задания 1-11 класса

Задача 3. Построить графики функций:а) y = 3x — 1б) y = -x + 2в) y = 2xг) y = -1Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам». а) y = 3x — 1

Готовые домашние задания 1-11 класса

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy. б) y = -x + 2

Готовые домашние задания 1-11 класса

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте. в) y = 2x

Готовые домашние задания 1-11 класса

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат. г) y = -1

Готовые домашние задания 1-11 класса

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox. Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c. Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

  • Ветви вниз, следовательно, a < 0.Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
  • Ветви вверх, следовательно, a > 0.Точка пересечения с осью Oy — c > 0.Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
  • Ветви вниз, следовательно, a < 0.Точка пересечения с осью Oy — c > 0.Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:а) y = x² + 1в) y = (x — 1)² + 2Построить графики можно при помощи элементарных преобразований. Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

  • y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;
  • y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;
  • y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;
  • y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.
  • Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.
  • Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.

Преобразование в одно действие типа f(x) + a. y = x²

Готовые домашние задания 1-11 класса

Сдвигаем график вверх на 1:y = x² + 1

Готовые домашние задания 1-11 класса

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Готовые домашние задания 1-11 класса

Сдвигаем график вправо на 1:

Готовые домашние задания 1-11 класса

в) y = (x — 1)² + 2В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a. y = x²

Сдвигаем график вправо на 1:y = (x — 1)²

Готовые домашние задания 1-11 класса

Сдвигаем график вверх на 2:y = (x — 1)² + 2

Готовые домашние задания 1-11 класса

Преобразование в одно действие типаy = cos(x)

Готовые домашние задания 1-11 класса

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x). Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение графиков других функций

Теперь, когда у нас есть основа в виде таблицы и диаграммы, можно строить графики других функций, внося небольшие корректировки в нашу таблицу.

Квадратичная функция  y=ax2+bx+c

Выполните следующие действия:

  • В первой строке меняем заголовок
  • В третьей строке указываем коэффициенты и их значения
  • В ячейку A6 записываем обозначение функции
  • В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3
  • Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо

Готовые домашние задания 1-11 класса

График квадратичной функции

Кубическая парабола  y=ax3

Для построения выполните следующие действия:

  • В первой строке меняем заголовок
  • В третьей строке указываем коэффициенты и их значения
  • В ячейку A6 записываем обозначение функции
  • В ячейку B6 вписываем формулу =$B3*B5*B5*B5
  • Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо

Готовые домашние задания 1-11 класса

График кубической параболы

Гипербола  y=k/x

Для построения гиперболы заполните таблицу вручную (смотри рисунок ниже). Там где раньше было нулевое значение аргумента оставляем пустую ячейку.

Далее выполните действия:

  • В первой строке меняем заголовок.
  • В третьей строке указываем коэффициенты и их значения.
  • В ячейку A6 записываем обозначение функции.
  • В ячейку B6 вписываем формулу =$B3/B5
  • Копируем её на весь диапазон значений аргумента вправо.
  • Удаляем формулу из ячейки I6.

Для корректного отображения графика нужно поменять для диаграммы диапазон исходных данных, так как в этом примере он больше чем в предыдущих.

  • Кликните диаграмму
  • На вкладке Работа с диаграммами перейдите в Конструктор и в разделе Данные нажмите Выбрать данные.
  • Откроется окно мастера ввода данных
  • Выделите мышкой прямоугольный диапазон ячеек A5:P6
  • Нажмите ОК в окне мастера.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение тригонометрических функций sin(x) и cos(x)

Рассмотрим пример построения графика тригонометрической функции y=a*sin(b*x). Сначала заполните таблицу как на рисунке ниже

Готовые домашние задания 1-11 класса

Таблица значений функции sin(x)

Готовые домашние задания 1-11 класса

Запись расчетной формулы функции sin(x) в Excel

В нашем примере =$B$3*SIN($D$3*B6). Адреса B3 и D3 являются абсолютными. Их значения – коэффициенты a и b, которые по умолчанию устанавливаются равными единице. После заполнения таблицы приступаем к построению графика.

Выделяем диапазон ячеек А6:J7. В ленте выбираем вкладку Вставка в разделе Диаграммы указываем тип Точечная и вид Точечная с гладкими кривыми и маркерами.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение диаграммы Точечная с гладкими кривыми

В итоге получим диаграмму.

Готовые домашние задания 1-11 класса

График sin(x) после вставки диаграммы

Теперь настроим правильное отображение сетки, так чтобы точки графика лежали на пересечении линий сетки. Выполните последовательность действий Работа с диаграммами –Конструктор – Добавить элемент диаграммы – Сетка и включите три режима отображения линий как на рисунке.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Настройка сетки при построении графика

Теперь зайдите в пункт Дополнительные параметры линий сетки. У вас появится боковая панель Формат области построения. Произведем настройки здесь.

Кликните в диаграмме на главную вертикальную ось Y (должна выделится рамкой). В боковой панели настройте формат оси как на рисунке.

Кликните главную горизонтальную ось Х (должна выделится) и также произведите настройки согласно рисунку.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Настройка формата горизонтальной оси Х графика функции

Теперь сделаем подписи данных над точками. Снова выполняем Работа с диаграммами –Конструктор – Добавить элемент диаграммы – Подписи данных – Сверху. У вас подставятся значения числами 1 и 0, но мы заменим их значениями из диапазона B5:J5. Кликните на любом значении 1 или 0 (рисунок шаг 1) и в параметрах подписи поставьте галочку Значения из ячеек (рисунок шаг 2). Вам будет сразу же предложено указать диапазон с новыми значениями (рисунок шаг 3). Указываем B5:J5.

Вот и все. Если сделали правильно, то и график будет замечательным. Вот такой.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Чтобы получить график функции cos(x), замените в расчетной формуле и в названии sin(x) на cos(x).

Аналогичным способом можно строить графики других функций. Главное правильно записать вычислительные формулы и построить таблицу значений функции. Надеюсь, что вам была полезна данная информация.

Дополнительные статьи по теме:

  • Знакомство с таблицами в Excel
  • Изменение строк и столбцов в Excel
  • Ошибки в формулах: почему excel не считает
  • Использования условий в формулах Excel
  • Функция CЧЕТЕСЛИМН
  • Работа с текстовыми функциями Excel
  • Все уроки по Microsoft Excel

Оцени лайком или дизлайком статью!

Как построить график функции «y = kx»

Готовые домашние задания 1-11 класса

Графиком функции «y = kx» является прямая.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательства),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из этой аксиомы, что
чтобы построить график функции вида «у = kx» нам будет достаточно найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −4x».

Найдем значение функции «y» для двух произвольных значений «x». Подставим, например, вместо «x» числа «0» и «1».

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.

x

Расчет «y»

0

y(0) = −4 · 0 = 0

1

y(1) = −4 · 1 = −4

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика
функции «y = −4x».

Запишем полученные координаты точек «y = −4x» в таблицу.

Точка

Координата по оси «Оx»
(абсцисса)

Координата по оси «Оy»
(ордината)

(·)A

0

0

(·)B

1

−4

Отметим полученные точки на системе координат.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая и будет
являться графиком функции «y = −4x».

После построения не забудьте подписать график функции.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Как решать задачи на функцию «y = kx»

Рассмотрим задачу.

Построить график функции «y = −1,5x». Найти по графику:

  • значение «» соответствующее значению «» равному 1; 0; 2; 3;
  • значение «», если значение «» равно
    −3; 4,5; 6;
  • несколько целых значений «», при которых значения
    «» положительны (отрицательны).

Вначале построим график функции «y = −1,5x».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = −1,5x» достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для «x». Для удобства расчетов выберем числа
«0» и «1».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Точка

Координата по оси «Оx»

Координата по оси «Оy»

(·)A

0

y(0) = −1,5 · 0 = 0

(·)B

1

y(1) = −1,5 · 1 = −1,5

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = −1,5x».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = −1,5x».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x» равному 1; 0; 2; 3.

Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:

  • провести перпендикуляр от оси «»
    (ось абсцисс)
    из заданного числового значения «»

    с графиком функции;

  • из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести перпендикуляр к оси
    «»
    (ось ординат);
  • полученное числовое значение на оси «» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = −1,5x»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным 1; 0; 2; 3.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Запишем полученные результаты в таблицу.

Заданное значение «x»

Полученное с графика значение «y»

0

0

1

−1,5

2

−3

3

−4,5

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно −3; 4,5; 6.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси «Oy».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Заданное значение «y»

Полученное с графика значение «x»

−3

2

4,5

−3

6

−4

Перейдем к последнему заданию. Нас просят найти несколько целых значений «x»,
при которых значения «y» положительны (отрицательны).

Для решения этой задачи необходимо внимательно изучить график функции
«y = −1,5x».

Отметим область на оси
«Oy», где значения «y» для графика функции «y = −1,5x»
положительны.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Из этой области проведем от графика функции несколько перпендикуляров
к оси «Ox».

Помните, что по заданию, нас просят найти несколько «целых» значений «x». Поэтому перпендикуляры мы будем проводить к оси «Ox» в целые числовые значения.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Запишем ответ. При x = −2; x = −1 значения
y > 0.

Теперь найдем при каких «x», значения
«y» отрицательны. Отметим область на оси «Oy», где значения
«y» на графике функции отрицательны.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Проведем перпендикуляры из отмеченной области к оси «Ox» в
целые числовые значения «x».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Запишем ответ. При x = 1; x = 2 значения
y < 0.

Рассмотрим другую задачу.

Какие из точек A(5; −3), D(2; 1)
принадлежат графику функции, заданной формулой
«y = x»?

Подробный разбор задачи «Как проверить, что точка принадлежит графику функции» мы приводили в уроке
«Как решать задачи на функцию».

В этом уроке мы вспомним только основные моменты решения подобных задач.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится равенство, значит точка графику функции.
  • Если получится равенство, значит точка
    графику функции.

Подставим в функцию
«y = x»
координаты точки (·)A(5; −3).

−3 = · 5

              
−3 = (неверно)

Это означает, что точка (·)А(5; −3)
не принадлежит графику функции «y = x»

Проверим точку (·)D(2; 1). Также подставим её координаты в функцию «y = x».

1 = ·2

1 =

            
1 = 1(верно)

Это означает, что точка (·)D(2; 1)
принадлежит графику функции «y = x».

Простейший график изменений

График нужен тогда, когда необходимо показать изменения данных. Начнем с простейшей диаграммы для демонстрации событий в разные промежутки времени.

Допустим, у нас есть данные по чистой прибыли предприятия за 5 лет:

* Цифры условные, для учебных целей.

Заходим во вкладку «Вставка». Предлагается несколько типов диаграмм:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Выбираем «График». Во всплывающем окне – его вид. Когда наводишь курсор на тот или иной тип диаграммы, показывается подсказка: где лучше использовать этот график, для каких данных.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Выбрали – скопировали таблицу с данными – вставили в область диаграммы. Получается вот такой вариант:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Прямая горизонтальная (синяя) не нужна. Просто выделяем ее и удаляем. Так как у нас одна кривая – легенду (справа от графика) тоже убираем. Чтобы уточнить информацию, подписываем маркеры. На вкладке «Подписи данных» определяем местоположение цифр. В примере – справа.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Улучшим изображение – подпишем оси. «Макет» – «Название осей» – «Название основной горизонтальной (вертикальной) оси»:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Заголовок можно убрать, переместить в область графика, над ним. Изменить стиль, сделать заливку и т. Все манипуляции – на вкладке «Название диаграммы».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Вместо порядкового номера отчетного года нам нужен именно год. Выделяем значения горизонтальной оси. Правой кнопкой мыши – «Выбрать данные» — «Изменить подписи горизонтальной оси». В открывшейся вкладке выбрать диапазон. В таблице с данными – первый столбец. Как показано ниже на рисунке:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Можем оставить график в таком виде. А можем сделать заливку, поменять шрифт, переместить диаграмму на другой лист («Конструктор» — «Переместить диаграмму»).

Добавление второй оси

Как добавить вторую (дополнительную) ось? Когда единицы измерения одинаковы, пользуемся предложенной выше инструкцией. Если же нужно показать данные разных типов, понадобится вспомогательная ось.

Сначала строим график так, будто у нас одинаковые единицы измерения.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Выделяем ось, для которой хотим добавить вспомогательную. Правая кнопка мыши – «Формат ряда данных» – «Параметры ряда» — «По вспомогательной оси».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Нажимаем «Закрыть» — на графике появилась вторая ось, которая «подстроилась» под данные кривой.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Это один из способов. Есть и другой – изменение типа диаграммы.

Щелкаем правой кнопкой мыши по линии, для которой нужна дополнительная ось. Выбираем «Изменить тип диаграммы для ряда».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Определяемся с видом для второго ряда данных. В примере – линейчатая диаграмма.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Всего несколько нажатий – дополнительная ось для другого типа измерений готова.

Строим график функций в Excel

Вся работа состоит из двух этапов:

  • Создание таблицы с данными.
  • Построение графика.

Составляем таблицу. Первый столбец – значения Х. Используем формулы. Значение первой ячейки – 1. Второй: = (имя первой ячейки) + 0,3. Выделяем правый нижний угол ячейки с формулой – тянем вниз столько, сколько нужно.

Готовые домашние задания 1-11 класса

В столбце У прописываем формулу для расчета функции. В нашем примере: =A2*(КОРЕНЬ(A2)-2). Нажимаем «Ввод». Excel посчитал значение. «Размножаем» формулу по всему столбцу (потянув за правый нижний угол ячейки). Таблица с данными готова.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Переходим на новый лист (можно остаться и на этом – поставить курсор в свободную ячейку). «Вставка» — «Диаграмма» — «Точечная». Выбираем понравившийся тип. Щелкаем по области диаграммы правой кнопкой мыши – «Выбрать данные».

Выделяем значения Х (первый столбец). И нажимаем «Добавить». Открывается окно «Изменение ряда». Задаем имя ряда – функция. Значения Х – первый столбец таблицы с данными. Значения У – второй.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Жмем ОК и любуемся результатом.

Готовые домашние задания 1-11 класса

С осью У все в порядке. На оси Х нет значений. Проставлены только номера точек. Это нужно исправить. Необходимо подписать оси графика в excel. Правая кнопка мыши – «Выбрать данные» — «Изменить подписи горизонтальной оси». И выделяем диапазон с нужными значениями (в таблице с данными). График становится таким, каким должен быть.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Наложение и комбинирование графиков

Построить два графика в Excel не представляет никакой сложности. Совместим на одном поле два графика функций в Excel. Добавим к предыдущей Z=X(√x – 3). Таблица с данными:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Выделяем данные и вставляем в поле диаграммы. Если что-то не так (не те названия рядов, неправильно отразились цифры на оси), редактируем через вкладку «Выбрать данные».

А вот наши 2 графика функций в одном поле.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Графики зависимости

Данные одного столбца (строки) зависят от данных другого столбца (строки).

Построить график зависимости одного столбца от другого в Excel можно так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Условия: А = f (E); В = f (E); С = f (E); D = f (E).

Выбираем тип диаграммы. Точечная. С гладкими кривыми и маркерами.

Выбор данных – «Добавить». Имя ряда – А. Значения Х – значения А. Значения У – значения Е. Снова «Добавить». Имя ряда – В. Значения Х – данные в столбце В. Значения У – данные в столбце Е. И по такому принципу всю таблицу.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Точно так же можно строить кольцевые и линейчатые диаграммы, гистограммы, пузырьковые, биржевые и т. Возможности Excel разнообразны. Вполне достаточно, чтобы наглядно изобразить разные типы данных.

Свойства линейной функции

  • Область определения функции — множество всех действительных чисел.
  • Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
  • График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
  • Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  • Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.
  • Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
  • График функции пересекает оси координат:ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);ось ординат OY — в точке (0; b).
  • x = −b/k — является нулем функции.
  • Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
  • Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.
  • При k > 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).При k < 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−b/k; +∞) и положительные значения на промежутке (−∞; −b/k).
  • Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением OX. Поэтому k называют угловым коэффициентом.Если k > 0, то этот угол острый, если k < 0 — тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью OX.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Есть два частных случая линейной функции:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Готовые домашние задания 1-11 класса

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;
  • если k < 0, то график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси OY:

  • если b > 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
  • если b < 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вниз вдоль оси OY.

Начертим три графика функции:

  • y = 2x + 3;
  • y = 1/2x + 3;

Готовые домашние задания 1-11 класса

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций:

  • y = −2x + 3;
  • y = −1/2x + 3;

Готовые домашние задания 1-11 класса

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

  • y = 2x + 3;
  • y = 2x;
  • y = 2x − 2.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
  • график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b. В этом случае ординаты всех точек графика функции равны b. А график выглядит так:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Так выглядит график прямой пропорциональности:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
  • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Готовые домашние задания 1-11 класса

Построение графиков функций в Excel

Начнем из анализа и создания графика функций в Excel. Мы убедимся в том, что линейный график в Excel существенно отличается от графика линейной функции, который преподают в школе.

Линейная функция x=y имеет следующие значения: x1=0, x2=1, x3=7. Заполните таблицу этими значениями как показано на рисунке:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«График»-«График с маркерами».

Готовые домашние задания 1-11 класса

В результате у нас созданы 2 линии на графике, которые наложены одна сверх другой. Так же мы видим, что линии сломаны, а значит, они не соответствуют презентации школьному графику линейной функции. Излом линий, получается, по причине того, что на оси X у нас после значений: 0, 1 сразу идет значение 7 (упущены 2,3,4,5,6).

Вывод один: данный способ графического построения данных нам не подходит. А значит щелкните по нему левой кнопкой мышки (чтобы сделать его активным) и нажмите клавишу DELETE на клавиатуре, чтобы удалить его.

Как построить график линейной функции в Excel

Чтобы создать правильный график функций в Excel выберите подходящий график.

Выделите диапазон A1:B4 и выберите инструмент: «Вставка»-«Диаграммы»-«Точечная»-«Точечная с прямыми отрезками и маркерами».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Как видно на рисунке данный график содержит одинаковое количество значений на осях X и Y. По умолчанию в шаблоне данного графика цена делений оси X равна 2. При необходимости ее можно изменить. Для этого:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь у нас отображается одинаковое количество значений по всем осям.

Очень важно понимать разницу в предназначениях графиков Excel. В данном примере мы видим, что далеко не все графики подходят для презентации математических функций.

Примечание. В принципе первый способ можно было-бы оптимизировать под отображение линейной функции, если таблицу заполнить всеми значениями 0-7. Но это не всегда работающее решение, особенно в том случае если вместо значений будут формулы изменяющие данные. Одним словом если нужно забить гвоздь лучше взять молоток, чем микроскоп. Несмотря на то, что теоретически гвозди можно забивать и микроскопом.

Не существует универсальных графиков и диаграмм, которыми можно отобразить любой отчет. Для каждого типа отчета наиболее подходящее то или иное графическое представление данных. Выбор зависит от того что и как мы хотим презентовать. На следующих примерах вы убедитесь, что выбор имеет большое значение. Существует даже целая наука «Инфографика», которая учит лаконично презентовать информацию с максимальным использованием графики вместо текста, насколько это только возможно.

Как построить график линейной функции «y = kx + b»

Графиком линейной функции «y = kx + b» является прямая.

Так как графиком функции «y = kx + b»
является прямая линия, функцию называют линейной функцией.

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств),
что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что
чтобы построить график функции вида «у = kx + b» нам достаточно будет найти всего
две точки.

Для примера построим график функции «y = −2x + 1».

Выбирая произвольные числовые значения вместо «x», лучше брать числа
«0» и «1». С этими числами легко выполнять расчеты.

x

Расчет «y = −2x + 1»

0

y(0) = −2 · 0 + 1 = 1

1

y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Полученные значения «x» и «y» — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек «y = −2x + 1» в таблицу.

Точка

Координата по оси «Оx»
(абсцисса)

Координата по оси «Оy»
(ордината)

(·)A

0

1

(·)B

1

−1

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет
являться графиком функции «y = −2x + 1».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Как решать задачи на линейную функцию «y = kx + b»

Построить график функции «y = 2x + 3». Найти по графику:

  • значение «» соответствующее значению «» равному −1; 2; 3; 5;
  • значение «», если значение «» равно
    1; 4; 0; −1.

Вначале построим график функции «y = 2x + 3».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции «y = 2x + 3» достаточно найти всего две точки.

Точка

Координата по оси «Оx»

Координата по оси «Оy»

(·)A

0

y(0) = 2 · 0 + 3 = 3

(·)B

1

y(1) = 2 ·1 + 3 = 5

Готовые домашние задания 1-11 класса

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции
«y = 2x + 3».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь работаем с построенным графиком функции «y = 2x + 3».

Требуется найти значение «y»,
соответствующее значению «x», которое равно −1; 2; 3; 5.

Тему
«Как получить координаты точки функции» с графика функции
мы уже подробно рассматривали в уроке
«Как решать задачи на функцию».

Чтобы найти значение «y» по известному значению «x» на графике
функции необходимо:

  • провести перпендикуляр от оси «»
    (ось абсцисс)
    из заданного числового значения «»

    с графиком функции;

  • из полученной точки пересечения перпендикуляра и графика функции провести перпендикуляр к оси
    «»
    (ось ординат);
  • полученное числовое значение на оси «» и будет искомым значением.

По правилам выше найдем на построенном ранее графике функции «y = 2x + 3»
необходимые значения функции «y» для
«x» равным −1; 2; 3; 5.

Готовые домашние задания 1-11 класса

Заданное значение «x»

Полученное с графика значение «y»

−1

1

2

7

3

9

5

13

Переходим ко второму заданию задачи. Требуется найти значение «x»,
если значение «y» равно 1; 4; 0; −1.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры от оси
«Oy».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Заданное значение «y»

Полученное с графика значение «x»

−1

−2

0

−1,5

1

−1

4

0,5

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Не выполняя построения графика функции
«y = 2x −
», выяснить, проходит ли график
через точки с координатами (0;
− ) и (1; −2).

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится равенство, значит, точка графику функции.
  • Если получится равенство, значит, точка
    графику функции.

Подставим в функцию
«y = 2x −
»

координаты точки (0;
− ).

− = 2 · 0

   − =

(верно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» проходит через точку с координатами (0;
− ).

Проверим точку с координатами (1; −2). Также подставим координаты в функцию «y = 2x −
».

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1 −

        −2 = 1 (неверно)

Это означает, что график функции «y = 2x −
» не проходит через точку с координатами (1; −2).

Как найти точки пересечения графика с осями

Найти координаты точек пересечения графика функции «y = −1,5x + 3» с осями координат.

Для начала построим график функции «y = −1,5x + 3» и на графике отметим точки пересечения
с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек функции
«y = −1,5x + 3».

Выберем два произвольных числовых значения для «x» и рассчитаем значение
«y» по формуле
функции. Например, для x = 0 и
x = 1.

Точка

Координата по оси «Оx»

Координата по оси «Оy»

(·)A

0

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(·)B

1

y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции «y = −1,5x + 3».

Готовые домашние задания 1-11 класса

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции с осью
«Oy»
(осью ординат)
нужно:

  • приравнять координату точки по оси
    к нулю
    (x = 0);
  • подставить вместо «» в формулу функции и найти значение
    «»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью
    .

Подставим вместо «x» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3

(0; 3) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Oy».

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции с осью
«Ox»
(осью абсцисс)
нужно:

  • приравнять координату точки по оси
    к нулю
    (y = 0);
  • подставить вместо «» в формулу функции и найти значение
    «»;
  • записать полученные координаты точки пересечения с осью
    .

Подставим вместо «y» в формулу функции «y = −1,5x + 3» число ноль.

(2; 0) — координаты точки пересечения графика функции «y = −1,5x + 3»
c осью «Ox».

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните
«правило противоположности».

Если нужно найти координаты точки пересечения графика с осью
«Ox», то приравниваем
«y» к нулю.

И наооборот. Если нужно найти координаты точки пересечениа графика с осью
«Oy»,
то приравниваем «x» к нулю.

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

  • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:2 = -4(-3) + bb = -10
  • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Готовые домашние задания 1-11 класса

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

  • Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
  • Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.
  • Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.