Для логических операций и выражений, как строить

Фев 04 2021

Вроде простая вещь — нужно вычислить результат для нескольких булевых переменных

Для логических операций и выражений, как строить

Читаем основную статью

Вроде всё просто. Но вот такой пример вида _A ∨ B ∨ C ⊕ D

Переводим на русский язык (с математического языка) — нужно сделать таблицу истинности для выражения

не A или B или C иск. или D

для всех вариантов переменных A,B. D, которые могут принимать значения «Истина» / «Ложь»

Или на английском (для программирования) =  not. xor

Задача на булеву алгебру не сложная — но у нас четыре переменных и 16 строк в таблице (да, 24 = 16). А если таких переменных будет 5, то в таблице будет 32 строки.

Но у нас есть Excel (Execute Cell), который прекрасно понимает формулы логики. Достаточно правильно написать формулу для одной строки — и потом мышкой перетащить эту формулу на остальные строки. Готово!

Итак по частям.

Логическая операция это операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых.

Логическая связка это союзы или выражения, которые употребляются в естественном языке для соединения простых высказываний в сложные.

Необходимо построить таблицу истинности.

Будем действовать согласно приведённому выше алгоритму.

Количество переменных — (3) (X, Y, Z); количество логических операций — (3).

Количество столбцов (=) (3 + 3 = 6); количество строк (=)

Построим таблицу. Заполним шапку таблицы сначала переменными, а потом логическими операциями. Первое действие в скобках, второе — отрицание, третье — конъюнкция.

Перечислим все возможные значения входных данных. Для того чтобы не пропустить ни одного значения, используют следующее правило: в значение первой переменной записывают (4) нуля, затем (4) единицы, в значении второй переменной чередуют (2) нуля и (2) единицы, а значение третьей переменной — чередование (0) и (1).

Заполним ячейки таблицы, выполняя логические операции.

Последний столбец таблицы и является ответом. Здесь можно увидеть, при каких входных данных логическая функция

принимает истинные или ложные значения.

Что такое таблицы истинности

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2n строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2N. Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 23 = 8.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице  в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

ГБПОУ АО «Техникум строительства и городского хозяйства», г. АрхангельскСайт- портфолио преподавателя информатикиЛебедевой Надежды НиколаевныПР 12 Заполнение таблиц истинности логических выраженийЦель: Сформировать умение заполнять  таблицы истинности логических выраженийТеоретическая часть. Логическое выражение – запись или устное утверждение, в которое, наряду с постоянными, обязательно входят переменные величины (объекты). В зависимости от значений этих переменных логическое выражение может принимать одно из двух возможных значений: ИСТИНА (логическая 1) или ЛОЖЬ (логический 0). Например: AСложное логическое выражение – логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых (или сложных) логических выражений, связанных с помощью логических операций. Например: (AVB)&CЛогические операции и таблицы истинностиПрактическая часть1. Заполните таблицу истинности  АВ000110112. Заполните таблицу истинности    X              Y          ¬X         X V Y         (X V Y) /¬X        0    0      0    1   1    0   1    13. Заполните таблицу истинностиHG                                000110114. Заполните таблицу истинности ABCА V В(А V В) C¬ ((А V В) C)0000010101000111011101115. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент истинности выражения F:  
XYZF110110010010Какое выражение соответствует F?Ваше имя: Ваш e-mail: Код:По окончании работы, нажмите кнопку Ответить, проверьте результаты своей работы. При наличии времени, исправьте ошибки. В форму обратной связи введите свою Фамилию Имя, № группы, адрес электронной почты и перешлите результат выполнения практической работы преподавателю. ВверхДата последнего обновления страницы 07. 2022Сайт создан по технологии «Конструктор сайтов e-Publish»

Размер шрифта

Шрифт

Межсимвольный интервал

Межстрочный интервал

Цветовая схема

Изображения

Логические операции

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Логические выражения

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

В логические выражения могут входить функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. Для таких случаев существует алгоритм выполнения действий. За исключением тех случаев, когда в логическом выражении присутствуют скобки, влияющие на порядок выполнения операций.

  • вычисляется существующие функциональные зависимости;
  • вычисляются алгебраические операции в обычном порядке;
  • вычисляются операции сравнения в любом порядке;
  • вычисляются логические операции начиная с операции отрицания. Следом вычисляется операция логического умножения, логического сложения, в последнюю очередь выполняются операции импликации и эквивалентности.

Инверсия

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Конъюнкция

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Дизъюнкция

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Правила составления таблицы истинности

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

  • Вычислить число переменных в выражении (n).
  • Вычислить общее количество логических операций в выражении.
  • Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
  • Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
  • Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2n
  • Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2n−1.
  • Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Примеры построения таблицы истинности

Построим таблицу истинности и решим выражение( F = (A ee B) wedge (¬A ee ¬B)). Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

  • Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
  • Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции , , , , = 2 +5 = 7.
  • Количество строк — 5, исходя из m =2n, таким образом 22 = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.

АВ(А ee В)¬А¬В(¬А ee ¬В)((A ee B) wedge (¬A ee ¬B))
0001110
0111011
1010111
1110000

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение (F = X ee Y wedge ¬Z)

  • Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции, , ¬ = 3 + 3 = 6.
  • Количество строк — 9, исходя из m =2n, таким образом 23 = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
  • Заполним таблицу.

XYZ¬Z(Y wedge ¬Z)(X ee Y wedge ¬Z)
000q00
001000
010111
100101
101001
110111
111001

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Конъюнкция (от лат. conjunctio — «союз, связь») — логическая операция, по смыслу максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: логическое «И», логическое умножение, иногда просто «И»

Для логических операций и выражений, как строить

И таблица истинности (AND таблица истинности)

Для логических операций и выражений, как строить

Логическая операция ИЛИ (Дизъюнкция)

Дизъюнкция (от лат. disjunctio — «разобщение») — логическое сложение, логическое ИЛИ, включа́ющее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу»

ИЛИ таблица истинности (OR таблица истинности)

Для логических операций и выражений, как строить

Логическая операция отрицания (Инверсия)

Инверсия (от лат. inversio «переворачивание; перестановка») — отрицание — переворачивание смысла, замена «белого» «чёрным»

НЕ таблица истинности (NOT таблица истинности)

Для логических операций и выражений, как строить

Логическая операция XOR (исключающее ИЛИ)

XOR таблица истинности

В Excel 2007 её нет.

В более современных версиях она есть. Но мы её можем собрать самостоятельно.

Для логических операций и выражений, как строить

Логические связки

используем аналог  _A V B

Для логических операций и выражений, как строить

Логическая связка Импликация (обратная)

используем аналог  A V _B

Для логических операций и выражений, как строить

Логическая связка ТОЖДЕСТВО

Используем ЕСЛИ, чтобы логическая связка получилась

Для логических операций и выражений, как строить

или вывод текстом

Собираем таблицу истинности

Не обязательно собирать всё в одной ячейке. Можно сделать столбцы для промежуточных вычислений.

Для нашего примера _A ∨ B ∨ C ⊕ D

Для логических операций и выражений, как строить

Последние публикации

  • Статьи от: Автор
  • Рубрика: Блог
  • Сортировка: дата публикации по убыванию

Классический вход Windows 7

Для логических операций и выражений, как строить

Процессоры AMD FX и их «ядра»

Для логических операций и выражений, как строить

Загадочная «маска подсети» — это просто

Для логических операций и выражений, как строить

Вычисляем большие числа

Для логических операций и выражений, как строить

Как соединить два роутера проводом?

Для логических операций и выражений, как строить

Как не надо устанавливать SSD M

Для логических операций и выражений, как строить

Как набрать немецкие умляуты (umlaut) на обычной клавиатуре в России?

Для логических операций и выражений, как строить

Логические выражения и таблица истинности

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме

Таблица истинности — таблица, показывающая,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения  таблицы  истинности:

подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n — количество переменных;

подсчитать количество логических операций в формуле;

установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

определить количество столбцов: число переменных + число операций;

выписать наборы входных переменных;

провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

разделить колонку  значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы  A/ (B / ¬B /¬C) постройте  таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 23 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность  логического выражения  F(А, В) = (А/ В)/(¬А/¬В).

В выражении две переменные А и В (n=2).

mстрок=2n, m=22=4 строки.

В формуле 5 логических операций.

Расставляем порядок действий

1) А/ В;  2) ¬А;  3) ¬В;  4) ¬А/¬В;  5) (А/ В)/(¬А/¬В).

Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A/ B) / ¬С

  • В данной функции три логические переменные – А, В, С
  • количество строк таблицы = 23 =8
  • В формуле 3 логические операции.
  • Расставляем порядок действий

1) А/ В;  2) ¬С; 3) (AVB) / ¬С.

А
В
С
A/B
¬С
(A/B) / ¬С

0
0
0
0
1
0

0
0
1
0
0
0

0
1
0
1
1
1

0
1
1
1
0
0

1
0
0
1
1
1

1
0
1
1
0
0

1
1
0
1
1
1

1
1
1
1
0
0

Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С /В) =>  В) / (А / В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

1) ¬X/¬Y/Z                      2) ¬X/¬Y/Z                  3) X/Y/¬Z              4) X/Y/Z

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y  и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1)      первое заданное выражение  ¬X/¬Y/Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2)      второе заданное выражение ¬X/¬Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует  второй строке таблицы;

3)      третье выражение   X/Y/¬Z    соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4)      четвертое выражение X/Y/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Примеры решения задач «Логические выражения и таблица истинности»

Теория по этой теме по этой теме Пройти тестирование по этой теме Контрольная по этой теме

Докажите, что А <=> В равносильно (A/ ¬B) / (¬A/ B)

Для доказательства равносильности двух высказываний достаточно построить таблицу истинности для высказывания (A/ ) / (/ B) и сравнить ее с таблицей истинности эквивалентности:

А
В
¬B

A/¬B
¬A
¬AVB
(A/¬B) / (¬A /B)

0
0
1

1
1
1
1

0
1
0
0
1
1
0

1
0
1
1
0
0
0

1
1
0
1
0
1
1

Последние столбцы этих функций совпадают, значит, они равносильны. ЧТД.

Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению

A / ¬ (¬B / C)

1) ¬A / ¬B / ¬C

2) A / ¬B / ¬C

3) A / B / ¬C

4) A / ¬B / C

Постройте таблицу истинности для логического выражения:

1)A=>B<=> ¬А /  B

2)F=A<=>B<=>(¬А /  B) / (¬B/  А)

Определите истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».

Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «За окном светит солнце»

В = «За окном дождь»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B) = A / ¬B

построим таблицу истинности для данной логической функции.

A
B
¬B
A / ¬B

0
0
1
0

0
1
0
0

1
0
1
1

1
1
0
0

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1. Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.

Определите истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».

Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:

А = «Гости смеялись»

В = «Гости шутили»

С = «Гости расходились по домам»

F(A, B, С) = A/ B /¬C

A
B
C
¬C
A / B/¬C

0
0
0
1
0

0
0
1
0
0

0
1
0
1
0

0
1
1
0
0

1
0
0
1
0

1
0
1
0
0

1
1
0
1
1

1
1
1
0
0

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1. Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.

На языке алгебры логики составьте истинное тождество, соответствующее заданному условию задачи:

Известно, что он либо сказал чистую правду, либо в одной части заявления соврал, а другое его высказывание истинно, либо оба факта исказил.

А = «Окно разбил Миша»

В = «Окно разбил Коля»